Contents

  1. 몬티홀 게임

1.1. 개요

1.2. 바꾸는 쪽이 더 높은 이유는?

1.3. 그외의 증명법

1.4. 사람들의 오해

1.5. 대중 매체에서의 등장

1.6. 참고

  1. 스타크래프트 맵

1. 몬티홀 게임 ¶

1.1. 개요 ¶

사자왕이 설명하는 몬티홀 게임.깨알 같이 자신의 차가 포르쉐라고 자랑하는 사자왕

미국 오락 프로그램에서 유래된 문제.

결승전, 당신 눈 앞에는 3개의 문이 있다. 이 문 중 하나는 최고급 세단이 있지만 나머지 2개의 문 뒤에는 말똥 무더기만 있다. 당신이 문 하나를 고르자, 사회자가 나머지 두 문 중 하나를 열어 그 안에 말똥이 있음을 보여준다. 사회자가 당신에게 선택을 바꿀 기회를 준다면, 당신은 선택을 바꿔야 하는가 바꾸지 말아야 하는가?

참고로 경우에 따라 이 문제의 내용은 세단과 말똥 대신 페라리염소로 바뀌는게 더 많다.

직관적으로 생각해보면 바꾸나 바꾸지 않으나 확률은 똑같이 1/2일 것 같다. 당신이 말똥을 고르건 세단을 고르건 말똥 문 하나는 남아 있을 것이다. 사회자는 그걸 열면 그만이고, 남은 문은 무조건 말똥 아니면 세단일 테니 바꾸나 바꾸지 않으나 똑같을 것이다. 그리고 출연하는 사람들은 그냥 원래 선택을 유지하는 사람이 많은데, 괜히 바꿨다가 원래 선택한 문에 세단이 있었으면 정말 억울할 테니까 말이다.



그러나 정답은, 바꾸는 쪽이 2/3으로 더 높다!

1.2. 바꾸는 쪽이 더 높은 이유는? ¶

1/2가 아니라 2/3이 되는 이유에 대해서 직관적으로 이해가 되지 않는다고 좌절하지 말것이다. 이 문제가 대중적으로 가장 화제가 되었던 1990년도에 기네스 북에 높은 IQ로 등재된 보스 사반트의 컬럼 '사반트에게 물어보세요'에서 사반트가 이 문제에 대한 정답(2/3)을 제시했을 때 약 만 통의 편지를 받았고 그 중 약 천 통은 수학이나 공학에서 박사학위를 가진 사람들이 틀린 답에 항의하는 내용의 편지였다.

이 문제에 대한 시각적인 해답은 경우의 수를 다 따져서 표로 작성해보는 것이다. 직관적인 해답은 사회자가 두개의 문 중에서 하나의 문을 열어서 말똥을 보여준다는 행위 자체가 열지 않은 다른 문에 세단이 있을 확률을 높여주기 때문이다. 즉 오답 하나를 제거함으로써[1] 열지 않은 문에 대한 정보를 추가로 제공하는 셈이다.

moti.jpg

[JPG image (101.35 KB)]

알기 쉬운 설명

[이해를 못 해도 여기에 가면 시뮬레이션을 해 볼 수 있다.](http://www.grand- illusions.com/simulator/montysim.htm)

쉽게 말해서 선택을 바꾼다는 전제하에 '말똥이 있는 문' 을 선택한 뒤 선택을 바꿀경우 세 문중 하나의 말똥이 있는 문은 이미 자신이 고른 상태이고 나머지 하나는 사회자가 말똥이 있다는 것을 확인시켜 주었으니 남아있는 문은 세단이 있는 문 뿐이기에 선택을 바꾼다면 당신은 반드시 세단을 얻을 수 있으며, 세단이 있는 문 을 선택한 뒤 선택을 바꾼다면 남은 문은 말똥이 있는 문뿐이니 선택을 바꿀 경우 반드시 '말똥이 있는 문' 을 열게 된다. 이 전제하에는 맨 처음 말똥이 있는 문을 선택해야만 세단을 얻을 수 있다. 말똥이 있는 문은 3개중 2개 이므로 확률은 당연히 2/3이며 만약 선택을 바꾸지 않는다면 선택을 바꾸지 않으니 처음 1/3의 확률 그대로 아무것도 변하지 않는다.

더욱 더 알기쉽게 설명하면 저 위의 예시 그림을 보면된다.

처음부터 자동차가 있는 문을 고를 확률 = 1/3
처음부터 꽝을 고를 확률 = 2/3

당신은 처음부터 꽝을 고를 확률이 더 높다. 여기서 사회자는 무조건 꽝을 하나 제거해주기 때문에 당신이 처음부터 자동차를 고르지 않은 이상 선택을 바꾸면 무조건 이긴다. 정리하면 처음부터 자동차를 고를 확률보다 꽝을 고를 확률이 더 높기때문에 선택을 바꾸는게 당연히 확률이 더 높다. 여기서 사회자가 무조건 꽝을 하나 빼주기 때문에,

선택을 바꾸지 않은 상태로 자동차를 얻을 확률

= 처음부터 자동차가 있는 문을 찍을 확률
= 1/3

선택을 바꾸면 자동차를 얻을 확률

= 처음에 꽝을 고를 확률
= 2/3

선택을 바꿔서 꽝을 고르게 될 확률은 오로지 처음부터 자동차를 고르게 되는 1/3 확률뿐이다. **고로 바꾸는게 유리하다. **

표로 설명하면...
세 문을 각각 A, B, C 라고 하고 세단이 A 뒤에 있다고 가정하면, 각각의 문을 고른 뒤 선택을 바꾼 경우와 안 바꾼 경우의 당첨/꽝(O/X) 결과를 다음 표와 같이 나타낼 수 있다.

A

B

C

바꿈

X

O

O

안 바꿈

O

X

X

위 표에서 '바꿈' 행과 '안 바꿈' 행을 비교해보면 선택을 바꾸는 경우 당첨 확률이 2/3이고, 선택을 바꾸지 않는 경우 당첨 확률이 1/3임을 알 수 있다. 그러므로 선택을 바꾸는 쪽이 더 유리하다고 할 수 있다.

참 쉽죠?

가장 쉽게 설명하자면, 문을 바꾸지 않으면 당신은 1/3 확률의 선택을 한 것이고, 문을 바꾸는 순간 당신은 두 번 선택을 한 것이므로 2/3의 확률을 가지게 된다.

1.3. 그외의 증명법 ¶

굳이 이 설명이 아니더라도 매우 많은 종류의 증명이 존재한다. 베이조스의 법칙을 써서 증명한다든가, 혹은 컴퓨터 시뮬레이션으로 무지막지하게 계속 시행한다든가...

1.4. 사람들의 오해 ¶

3번에 자동차가 있다고 하면,

이는 확률로 계산해보면 더욱 명확해진다. 위와 같은 경우, 즉 3번 문에 자동차가 들어 있는 상황이라고 할 때,

그런데 여기서, 조건부 확률이란게 참 기묘한게 말 한마디, 주어진 상황이 아주 조금만 바뀌어도 상황이 틀어진다. 같은 상황에서 몬티홀이 문을 열때 오답을 전혀 모르고 있는 상태라고 전제조건을 바꾸어 생각해보자. 즉, 몬티홀이 열었을때 포르쉐가 나올수도 있는 상황이였다면, 사회자가 어떤 문을 선택하느냐는 사실이 고려대상이 포함되버리기 때문에 몬티홀이 먼저 염소가 있는 문을 열었더라도 이 경우만큼은 당첨자뒤에 포르쉐가 있을 확률은 1/3이 아니라 1/2이 맞다!뭐 X발?

그 차이를 알고있냐,모르고있냐에 따라 문제가 확확 바뀌기 때문에 명확한 해결이 나온 아직도 이 문제에 대한 의견이 갈리게 되는것이다. 몬티홀이 오답을 알고있을 경우에는 상술했듯이 확실히 아니라는 경우의 수중에 하나는 오답이라고 확실히 인지시켜줌으로써 확률에 변화가 가해지지만, 모르고있던 상태에서 염소가 나왔다면 그 경우의 수를 아예 배제하고 확률을 새로 계산해야 하므로 계산 방법 자체가 달라진다. 위의 사자왕 동영상 후반부 설명에도 나와있듯이 경찰대학교 문제에서 이런 전제조건을 다르게 생각하고 문제를 내서 논란이 된적이 있었다고 한다.

물론 원할한 진행을 위해 몬티홀은 오답을 알고있었으니 시청자에게 오답인 상황을 하나 빼준다는 전제조건이 깔린 상황이라 바꾸는게 2/3이 되는게 맞다. 하지만 친구끼리 이문제 가지고 병림픽을 벌이고 있다면 전제조건에 차이에 대해서 잘 설명해주고 너도 맞는말이고 얘도 맞는말이야라고 정리해주자.하지만 정확히 설명못하면 병림픽에 참여하게되니 조심하자. 걍 이 페이지를 보여줘

1.5. 대중 매체에서의 등장 ¶

1.6. 참고 ¶

마틴 가드너가 쓴 이야기 파라독스에서는 몬티홀 문제와 비슷한 듯 다른 문제가 실려있다.

얼핏 생각해보면 컵 하나를 제거한 순간 남은 컵은 둘 뿐이니 돈을 딸 확률이 1/2로 증가하는 게 아닌가 하는 생각이 들기도 한다. 그러나 이 경우에는 몬티홀 문제와는 달리 플레이어에게 선택할 컵을 바꿀 기회를 주지 않고 있다. 그러니 이 룰을 추가하든 하지 않든 플레이어의 승률은 1/3 그대로 고정되고 확률이 바뀔 리 없다.

몬티홀처럼 직관적으로 내린 결론이 실제 수학적 답과 다른 또다른 문제. 문제는 다음과 같다.

일반적으로는 처음 카드를 뽑을 때를 기준으로 13/52=1/4이라고 생각하겠지만, 정답은 확인하지 않은 카드 중 다이아를 뽑을 확률과 같은 10/49이다.

후행사건의 결과에 의해서 선행사건의 확률이 바뀐다는 것이 일반적인 사고로는 납득되기 어려울 것이다. 이는 이후에 뽑은 3장의 다이아 카드가 무작위로 뽑은 카드이기 때문으로, 정확한 확률 계산법은 다음과 같다.

(4장 연달아 다이아를 뽑을 확률)/{(4장 연달아 다이아를 뽑을 확률)+(처음엔 다른 모양를 뽑은 뒤 3번 연달아 다이아를 뽑을 확률)}

이를 극단적으로 간단하게 도식화시켜서 생각해보자면, 다이아 카드와 스페이드 카드 한장씩이 있는데, 한장을 뽑아 덮어둔 뒤, 다시 한장을 뽑았을 때 그 카드가 스페이드라면 처음 뽑은 카드가 다이아일 확률은? 당연히 1/2가 아닌 1이다.

이렇게 직관적인 결론과 수학적으로 풀이한 결론이 일치하지 않는 이유는 선행 사건과 후행 사건이 서로 영향을 주지 않고 따로 노는 독립사건이 아니라, 선행 사건에 의해 후행 사건이 일어날 확률이 영향을 받는 종속사건이기 때문. 한 사건과 관련이 있는 사건의 정보가 주어지면 해당 사건이 일어날 확률은 달라지게 된다. 양자역학을 일반 상식으로는 이해할 수 없는 것도 이러한 확률의 변화와 관련이 있다. 한 사건이 일어날 확률을 구함에 있어 확률의 변화가 수반되는 경우 눈에 보이는 사건이라도 혼동되기 마련인데, 눈에 보이지 않는 사건이라면 두말하면 잔소리다.

양자역학에서는 관찰이라는 행위도 관찰하고자 하는 사건과 관련된 하나의 사건으로 취급되므로 관찰하고자 하는 사건의 확률에 영향을 주게 된다. 즉, 관찰 행위(선행 사건)가 관찰하고자 하는 것(후행 사건)에 직접 영향을 주어 사건의 결과를 달라지게 한다는 말이다. 이를 파동함수의 붕괴라 하는데, 파동함수는 확률밀도 함수의 일종[2]이므로 파동함수가 붕괴한다는 것은 쉽게 말해 방정식 자체가 달라진다는 것이므로 그 파동함수를 통해 도출되는 결과값. 그러니까 관찰하고자 할 사건이 일어날 확률이 당연히 변하게 된다. 이 때문에 양자역학에서는 관찰 행위가 결코 무시될 수 없는 것이다.

[이곳에서 병림픽을 볼 수 있다.](http://bbs2.ruliweb.daum.net/gaia/do/ruliweb/default/ read?articleId=12742221&bbsId=G005&itemId=143#commentFrame)

2. 스타크래프트맵

teamliquid.net/tlpd/images/maps/146Monty%20Hall.jpg)

[JPG external image]

Map Size : 128x128
TileSet : Twillight
Players : 2

스타크래프트의 맵. 본진에 막힌 미네랄이 3방향인게 본 항목의 1을 연상시킨다해서 몬티홀이란 이름이 됐다.

곰TV MSL 시즌2,다음 온게임넷 스타리그,신한은행 프로리그 2007에서 쓰인 맵.

프로토스 골든 에이지의 서막을 연 맵으로 일꾼 비비기 정찰이 중요한 맵이다. 의외로 사각지대도 많아서 몰래 시리즈도 자주 나온다. 반면 테저전 한정 저그의 무덤이었다.

따져보면 이 맵도 시간형 섬맵이긴 한데, 입구를 막는 미네랄이 워낙 금방 뚫리는데다가 전반적으로 맵이 개활지에 가까워 섬맵식의 경기 양상은 거의 나오지 않았다.

그 유명한 전화찬스 관광이 일어난 곳이다.[3]

덧붙여서 말하자면 미네랄 장벽이 저그입장에서 얼마나 X같은지 깨닫게 되는 맵이기도하다. 강민박성준을 상대로 시도한 전진 투게이트 포토러쉬의 심시티 위치를보자. 심지어 박성준은 코앞(진짜 코앞이다!)에 넥서스가 지어지는데 두눈 뻔히뜨고 지켜보는 수 밖에 없는 상황도 나왔었다. 자세한건 곰Tv msl 시즌2 16강 F조 강민 vs 박성준 경기를 참고.

이 몬티홀에서만 볼수 있었던 전진 해처리 가드라 체제는 심소명이 최초로 써먹었으며 이 전략을 앞세워 심소명은 MSL 결승에도 오르는 등 선수생활의 황혼기를 불태웠다. 그리고 이 전략이 가장 널리 알려지게 된건 김준영변형태Daum 스타리그2007 결승전 4경기에서 2:1로 앞서던 변형태가 이기고 우승을 차지할 것이라고 생각했으나, 대인배스럽게 상대방 중앙 앞마당을 먹고 노스포 3해처리를 가져간 김준영이 가디언-히드라 체제를 완성시켜 변형태안드로메다로 날려버렸다. 그리고 철구의 유일한 공식전 승리도 이 맵에서 거두었다.

그리고 최인규가 김택용을 고스트 관광으로 안드로메다로 보내고 1100일만에 공식전 승리를 한 전장이기도 하다.

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