Contents

1 정의 및 개요

2 생성부분군

3 정규부분군

4 부분군과 관련된 정리들

1 정의 및 개요 ¶

<G,*>의 부분집합 H가

  1. (닫힘성)임의의 a, b∈H에 대해 a*b∈H, a-1 ∈H (a의 G에서의 역원) 이고
  2. (항등원의 존재) H는 G의 항등원을 포함할 때 군 <H,>를 <G,>의 부분군(subgroup)이라 한다. (쉽게 말해 주어진 내부에서 다시 군을 이루는 러시아 인형)

항등원의 집합 {e}는 항상 군이 되고, 이를 자명한 부분군(trivial subgroup)이라 한다. 자기 자신 G가 아닌 부분군을 진부분군(proper subgroup)이라 하고, 이는 비자명 부분군(nontrivial subgroup)과 구분되어야 한다.

부분군의 정의에서 닫힘성은 '임의의 a, b∈H에 대해 ab-1 ∈H' 인 필요충분조건으로 대체될 수 있고, 항등원의 존재성은 (닫힘성 전제 하에) H가 공집합이 아니라는 조건으로 바꾸어 쓸 수 있다. 보통 주어진 집합이 부분군임을 쉽게 확인하기 위해 쓰이는 성질. 하지만 이 정의 또는 조건들에서 어느 부분이라도 빠지면 부분군이 되지 않는다. G가 유한집합이면 닫힘성을 ab∈H 까지만 확인하더라도 괜찮지만, 일반적으로는 반례가 있다. [1]

부분군은 어느 대수구조에나 있는 '부분집합이 다시 같은 대수구조가 되는' 대상이다. 선형대수학을 먼저 배우고 군론을 학습한다면, 부분공간(subspace)의 수많은 성질들이 부분군에 적용됨을 알 수 있을 것이다. (부분군의 부분군은 부분군, 생성부분군의 존재성 등등) 하지만 군론에서 부분군의 대접은 부분공간과는 미묘하게 차이가 있는데, 부분공간이 만족시키는 성질들 중 만족시키지 않는 것이 상당히 많기 때문이다. 군론에서 제대로 된 '부분대상'으로 쳐 주는 것은 사실상 아래에 후술할 정규부분군(normal subgroup)이다.[2] 물론 그렇다고 정규부분군이 아닌 부분군들이 푸대접을 받는다는 것은 절대 아니고, 다만 다른 대수학과는 다른 군론 특유의 방법론으로 연구된다는 것이다. 덕분에 군론이 어렵다

2 생성부분군 ¶

군의 주어진 부분집합을 포함하는 최소의 군을 생성부분군(spanning subgroup)이라 한다. 이 때 주어진 부분 집합은 생성원 또는 생성집합이라 불린다. 생성집합이 X인 생성부분군은 보통 로 표시된다. X가 단일 원소 {a}일 때의 생성부분군은 순회군이 되고, 순회부분군(cyclic subgroup)이라는 이름이



붙으며 보통 로 간편히 표시한다.

생성원이 X={a1 , a2 , ..., an ...}인 경우에 생성부분군의 모든 원소는 X의 원소들과 그 역원들을 (같은 것 중복을 허용해서) 순서대로 나열한 단어(word)들로 나타난다. 예를 들어서 X={a,b}인 경우는 abbba-1 , aab-1 aba-1 b 같은 것들이 있다는 것. 보통 이 곱을 순서를 바꿔 쓰는 게 안 되므로, 생성부분군의 구조는 상당히 복잡해질 수 있다. 실제로 2*2 정수행렬 중 행렬식이 1인 것들의 군 SL2(Z) 는 단 두 개의 원소만으로 생성된다.

3 정규부분군 ¶

위에서 잠깐 언급한 부분군이 다른 대수적 구조과 다른 성질은, 상공간(quotient)이 잘 정의되지 않는다는 것이다. 상공간의 예를 들자면 정수론에서 합동(congruence)의 개념을 들 수 있다. 이는 정수 n으로 나눈 나머지가 같은 것들을 동치류(equivalence class)로 분류하면 이 동치류들의 합과 곱이 자연스럽게 정의된다는 것이다. 예를 들자면 n=3일 때 동치류들은 다음과 같은 집합

3Z = {..., -6, -3, 0, 3, 6, ...}
3Z+1 = {..., -5, -2, 1, 4, 7, ...}
3Z+2 = {..., -4, -1, 2, 6, 8, ...}

이 되고, 같은 동치류에 속하면 합 또는 곱의 연산결과의 동치류도 같다. 예를 들자면 1과 193, 2와 278의 동치류가 같으므로, 1+2=3의 동치류 3Z와 193+278=471의 동치류도 같다는 것을 471을 다시 3으로 나누어 보지 않아도 알 수 있다는 것이다. 따라서 동치류들을 모은 집합

Z/3Z = {3Z, 3Z+1, 3Z+2}

에서 합과 곱이 잘 정의되는 것이 합동(congruence)의 개념이다. 이는 기준이 되는 '부분 구조'인 3Z로 [3] 전체 Z를 나눠 분류했다고 볼 수 있다. 벡터공간의 부분공간에도 이러한 개념이 비슷하게 적용이 된다.

부분군에서 이를 생각하려면 문제가 나타난다. 부분군 H의 연산에 대해 G의 원소들을 분류하면, H를 왼쪽에 곱하느냐 오른쪽으로 곱하느냐에 따라 동치류의 분류가 차이가 난다. 정확히 말하자면, 좌측 잉여류(left coset)와 우측 잉여류(right coset)로 불리는

aH = {ah | h∈H}, Ha = {ha | h∈H}

두 집합은 보통 같지 않다. 일반적 부분군에 대해 이 문제를 무시하고 상공간을 생각한다면, 어떤 분류를 생각하든 간에 같은 동치류끼리의 연산이 같은 동치류가 되게 (즉 a~b이고 c~d이면 ac~bd이게) 할 수 없다.

하지만 만약 좌측/우측 잉여류가 서로 같다면, 즉 모든 a에 대해 aH = Ha이면, 상공간을 생각할 수 있다. 잉여류들을 모두 모은 집합 G/H = {aH | a∈H} 에서 이제는 같은 동치류끼리의 연산이 같은 동치류가 된다. 즉

aH = a'H, bH = b'H ⇒ (ab)H = (a'b')H

가 성립한다. 따라서 (aH)*(bH) = (ab)H가 잘 정의되고, G/H는 이 연산에 대해 군이 된다. 이를 _상군_(quotient group) 혹은 _잉여군_(factor group)이라 부른다. 이렇게 상군을 만들 수 있는, 즉 좌잉여류와 우잉여류가 같은 부분군들을 _정규부분군_(normal subgroup)이라 부른다.

이 상군을 만들 수 있다는 성질 하나 때문에 정규부분군은 군론에서의 진정한 부분대상(subobject)으로 취급받는다. 군의 준동형사상(homomorphism)의 핵(kernel, 항등원의 역상)은 반드시 정규부분군이어야 하고 상(image)은 상군과 동형으로 나타난다는 제1동형정리(first isomorphism theorem)에 의해, 정규부분군만을 분석해도 준동형사상에 대해 많은 것을 알 수 있고 그 반대도 가능하다.

4 부분군과 관련된 정리들 ¶

(아래 정리들의 H, K는 모두 어떤 군의 부분군이다.)

\----